delphij's Chaos

选择chaos这个词是因为~~实在很难找到一个更合适的词来形容这儿了……

10 Mar 2004

这种情况下你会改变你的选择吗? (有意思的概率问题)

有三间屋子,A、B、C,一件礼物a,这件礼物被放到了三间屋子中的一个,现在让你来猜礼物在哪间屋子里。

很明显,随便猜一个,猜中的概率为1/3,这个很简单,但接下来的问题是:

如果你选择的屋子是X,在放礼物的人知情的情况下,他打开了一间屋子,这间屋子:

  1. 不是你所选择的屋子X
  2. 不是包含礼物的屋子Y

问,剩下两间屋子中,X和另一间屋子Z中有礼物的概率如何?

答案并不是显而易见的……

这是我写的一段验证代码:


#include <cstdlib>
#include <iostream>
using namespace std;

/*
 * Obtain time for seed. This program does not need high quality randomness
 */
 #include <time.h>

int main()
{
	int giftRoom, myChoice, hisChoice;
	int nCorrect, nWrong;
	nCorrect = nWrong = 0;
	srand((unsigned)time(NULL));
	for(int i=0; i<1000000; i++){
		// Obtain the location of the object
		giftRoom = rand() % 3;

		// You have chosen a room from the three, this is independent.
		myChoice = rand() % 3;

		/*
		 * Now that we have a 1/3 possiblity of obtaining the gift
		 * in the room. However, this will be soon changed!
		 *
		 * Look for a room which is not what you have chosen, and
		 * it does not contain the gift.
		 */
		do {
			hisChoice = rand() % 3;
		}while((hisChoice!=myChoice) && (hisChoice != giftRoom));

		if(myChoice == giftRoom){
			nCorrect += 1;
		} else {
			nWrong +=1;
		}
	}
	cout << nCorrect << "," << nWrong << endl;
	cin.ignore();
	return 0;
}

诡异的是,X和Z中有礼物的概率是1:2,换言之,如果改变选择,那么,有2/3的可能是对的,反之,则只有1/3。

据说这个问题有相当严格的数学证明,然而目前为止我还没有找到。


Archived: 3 Comments

delphij | March 9, 2004 5:40 PM

junsu has pointed out a website about the original problem at http://members.lycos.co.uk/xuy/azcn/files/hy/erdos.htm and I quote the related part here:

“数学和数学家们有时和大众也非常接近,特别是那种智力题,古今中外,老少都喜欢。电视上有过一个著名的“山羊与汽车”的问题曾引起过小热闹。题目如下:台上有三个门,一个后边有汽车,其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个,你看到是山羊。这时,他给你机会让你可以重选,也就是你可以换选另一个剩下的门。那么,你换不换?

当时有一个在《Parade》杂志上主持“Ask Marilyn”专栏的玛莉莲(Marilyn vos Savant)很受欢迎,(据说她的智商228,是智商的吉尼斯记录保持者)。她回答读者说应该换时,很多读者不同意,包括许多数学家。玛莉莲在下一期专栏给出一个事件列表说明她的道理,但反对声更多更大了。在几千封信里,反对者占十分之九(当然,一般是反对者更有劲写信)。其中有全国健康机构的统计学家,还有国防情报中心的副主任等等。许多人用词尖锐刻薄,也有一些慷慨激昂。

话说到此,你认为如何,到底换也不换?

这个问题的答案是换。如果你错了,不要生气,因为连埃尔笛希也错了。如果你知道自己错了,马上就开始思考对方的道理而又不恼怒,那看来你不像是数学家,起码不像伟大的埃尔笛希.埃尔笛希当时可是气坏了。

在第三次为此题目的专栏里(1991年2月17日)玛莉莲最后是这样说服大家的:假如当主持人打开那个有山羊的门后,有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个门中任选一个,有车的概率确实都是50%。但你不是刚到,你有优势,因为主持人帮助过你了,他为你在其余两个门中作了预选。你换了后,概率就由三分之一提高到三分之二了。

据书中所言,这个问题经常引起激烈和情感化的争辩,并导致不愉快的结局。读此书以前我自己也是先搞错了的。也有过头脑发热的争辩。我想,争辩大都是对自己数学感觉好的人不服气引起的。而偏偏数学感觉好的人在此又很容易错。这里有些有意识或无意识的心理活动过程。”

armycat | May 26, 2004 2:33 PM

唉,我好像每到一个论坛都得进行“玛丽安问题”的扫盲。
事实上,换不换取决于:主持人是随机选的呢?还是故意打开有羊的门呢?
(1)如果主持人是随机选的,那么他和你的地位是等同的(都是随机选,先选后选无所谓),你们两个选到车的概率都是1/3,另一扇门后有车的概率也是1/3,所以换不换无所谓。
(2)如果主持人是故意打开有羊的门,那么他选到车的概率当然是0,而你选到车的概率还是1/3,这样另一扇门后有车的概率就是2/3,所以应该换。
这个问题很象我们从小就知道的“一张桌子四个角,切掉一个角还剩几个”,答案不一定,看你怎么切。

牛三减一 | September 17, 2004 9:38 PM

怎么感觉应该是1/2的概率,刚开始选择是,“我”中车的的概率是1/3 当主持人把门打开后出现的是羊相当于游戏重新开局,原有的1/3中车率应该被归0不应该被加累加,这时选中车的比率就是1/2