假设 3721 = x * y，其中x, y 均为整数，则 x+y 最大是多少？

2015-02-12 00:28 • 本文约 475 字，阅读大致需要 1 分钟 | Shared Chaos | #数学 | #math

翻了个船，记一笔。题目是：假设 $3721 = x * y$ ，其中 $x$ 、 $y$ 均为整数，则 $x+y$ 最大是多少？

已知 $x$ 、 $y$ 为整数，由于 $3721$ 是正整数，因此 $x$ 、 $y$ 符号相同且均不为 $0$ 。又，题目所求是 $x+y$ 的最大值，故只需考虑 $x$ 、 $y$ 的正整数解情形。

由 $x * y = 3721$ ，令 $y = {3721 \over x}$ ，则 $x + y = x + {3721 \over x}$ 。由于 $x > 0$ 且为整数，可知所求为符合条件的 $max(x^{2} + 3721)$ ，或 $max(x)$ 。

将 3721 开方得到正整数 61。由此可知 $x = y = 61$ 是 $xy=3721$ 的一个整数解。 $61$ 是质数，于是很想当然地得到了错误答案： $61+61 = 122$ 。掉到这个坑里的主要原因是想太多了，实际上题目最终要求的是 $x$ 的最大正整数解，换言之，此类问题：已知 $C$ 为正整数， $C = x*y$ ，求 $max(x+y)$ 的结果应该是 $(C+1)$ ，不需要任何超出小学算术的计算。本题中的正确答案为 $3722$ 。