delphij's Chaos

选择chaos这个词是因为~~实在很难找到一个更合适的词来形容这儿了……

12 Feb 2015

假设 3721 = x * y,其中x, y 均为整数,则 x+y 最大是多少?

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翻了个船,记一笔。题目是:假设 3721=xy3721 = x * y,其中 xxyy 均为整数,则 x+yx+y 最大是多少?

已知 xxyy 为整数,由于 37213721 是正整数,因此 xxyy 符号相同且均不为 00。又,题目所求是 x+yx+y 的最大值,故只需考虑 xxyy 的正整数解情形。

xy=3721x * y = 3721,令 y=3721xy = {3721 \over x},则 x+y=x+3721xx + y = x + {3721 \over x}。由于 x>0x > 0 且为整数,可知所求为符合条件的 max(x2+3721)max(x^{2} + 3721),或 max(x)max(x)

将 3721 开方得到正整数 61。由此可知 x=y=61x = y = 61xy=3721xy=3721 的一个整数解。6161 是质数,于是很想当然地得到了错误答案:61+61=12261+61 = 122。掉到这个坑里的主要原因是想太多了,实际上题目最终要求的是 xx 的最大正整数解,换言之,此类问题:已知 CC 为正整数,C=xyC = x*y,求 max(x+y)max(x+y) 的结果应该是 (C+1)(C+1),不需要任何超出小学算术的计算。本题中的正确答案为 37223722